Mixed Statistics on $01$-Fillings of Moon Polyominoes
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We establish a stronger symmetry between the numbers of northeast and southeast chains in the context of $01$-fillings of moon polyominoes. Let $mathcal{M}$ be a moon polyomino. Consider all the $01$-fillings of $mathcal{M}$ in which every row has at most one $1$. We introduce four mixed statistics with respect to a bipartition of rows or columns of $mathcal{M}$. More precisely, let $S$ be a subset of rows of $mathcal{M}$. For any filling $M$, the top-mixed (resp. bottom-mixed) statistic $alpha (S; M)$ (resp. $\beta (S; M)$) is the sum of the number of northeast chains whose top (resp. bottom) cell is in $S$, together with the number of southeast chains whose top (resp. bottom) cell is in the complement of $S$. Similarly, we define the left-mixed and right-mixed statistics $gamma (T; M)$ and $delta (T; M)$, where $T$ is a subset of the columns. Let $lambda (A; M)$ be any of these four statistics $alpha (S; M)$, $\beta (S; M)$, $gamma (T; M)$ and $delta (T; M)$. We show that the joint distribution of the pair $(lambda (A; M), lambda (M/A; M))$ is symmetric and independent of the subsets $S, T$. In particular, the pair of statistics $(lambda (A;M), lambda (M/A; M))$ is equidistributed with $(mathrm{se}(M), mathrm{ne}(M))$, where $mathrm{se}(M)$ and $mathrm{ne}(M)$ are the numbers of southeast chains and northeast chains of $M$, respectively.Nous tablissons une symtrie plus forte entre les nombres de chanes nord-est et sud-est dans le cadre des remplissages $01$ des polyominos lune. Soit $mathcal{M}$ un polyomino lune. Considrez tous les remplissages $01$ de $mathcal{M}$ dans lesquels chaque range contient au plus un $1$. Nous prsentons quatre statistiques mixtes sur les bipartitions des ranges et des colonnes de $mathcal{M}$. Plus prcisment, soit $S$ un sous-ensemble de ranges de $mathcal{M}$. Pour tout remplissage $M$, la statistique mixte du dessus (resp. du dessous) $alpha (S; M)$ (resp. $\beta (S; M)$) est la somme du nombre de chanes nord-est dont le dessus (resp. le dessous) est dans $S$, et du nombre de chanes sud-est dont la cellule suprieure (resp. infrieure) est dans le complment de $S$. De mme, nous dfinissons les statistiques mixtes gauche et droite $gamma (T; M)$ et $delta (T; M)$, o $T$ est un sous-ensemble des colonnes. Soit $lambda (A; M)$ une des quatre statistiques$alpha (S; M)$, $\beta (S; M)$, $gamma (T; M)$ et $delta (T; M)$. Nous montrons que la distribution commune des paires $(lambda (A; M), lambda (M/A; M))$ est symtrique et indpendante des sous-ensembles $S, T$. En particulier, la paire de statistiques $(lambda (A;M), lambda (M/A; M))$ est quidistribue avec $(mathrm{se}(M), mathrm{ne}(M))$, o $mathrm{se}(M)$ et $mathrm{ne}(M)$ sont les nombres de chanes sud-est et nord-est de $M$ respectivement.
