New Hopf Structures on Binary Trees
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The multiplihedra $mathcal{M}_{\bullet} = (mathcal{M}_n)_{n geq 1}$ form a family of polytopes originating in the study of higher categories and homotopy theory. While the multiplihedra may be unfamiliar to the algebraic combinatorics community, it is nestled between two families of polytopes that certainly are not: the permutahedra $mathfrak{S}_{\bullet}$ and associahedra $mathcal{Y}_{\bullet}$. The maps $mathfrak{S}_{\bullet} woheadrightarrow mathcal{M}_{\bullet} woheadrightarrow mathcal{Y}_{\bullet}$ reveal several new Hopf structures on tree-like objects nestled between the Hopf algebras $mathfrak{S}Sym$ and $mathcal{Y}Sym$. We begin their study here, showing that $mathcal{M}Sym$ is a module over $mathfrak{S}Sym$ and a Hopf module over $mathcal{Y}Sym$. An elegant description of the coinvariants for $mathcal{M}Sym$ over $mathcal{Y}Sym$ is uncovered via a change of basis-using Mbius inversion in posets built on the $1$-skeleta of $mathcal{M}_{\bullet}$. Our analysis uses the notion of an $ extit{interval retract}$ that should be of independent interest in poset combinatorics. It also reveals new families of polytopes, and even a new factorization of a known projection from the associahedra to hypercubes.Les multiplidres $mathcal{M}_{\bullet} = (mathcal{M}_n)_{n geq 1}$ forment une famille de polytopes en provenant de l'tude des catgories suprieures et de la thorie de l'homotopie. Tandis que les multiplihdres sont peu connus dans la communaut de la combinatoire algbrique, ils sont nichs entre deux familles des polytopes qui sont bien connus: les permutahdres $mathfrak{S}_{\bullet}$ et les associahdres $mathcal{Y}_{\bullet}$. Les morphismes $mathfrak{S}_{\bullet} woheadrightarrow mathcal{M}_{\bullet} woheadrightarrow mathcal{Y}_{\bullet}$ dvoilent plusieurs nouvelles structures de Hopf sur les arbres binaires entre les algbres de Hopf $mathfrak{S}Sym$ et $mathcal{Y}Sym$. Nous commenons son tude ici, en dmontrant que $mathcal{M}Sym$ est un module sur $mathfrak{S}Sym$ et un module de Hopf sur $mathcal{Y}Sym$. Une description lgante des coinvariants de $mathcal{M}Sym$ sur $mathcal{Y}Sym$ est trouve par moyen d'une change de baseen utilisant une inversion de Mbius dans certains posets construits sur le $1$-squelette de $mathcal{M}_{\bullet}$. Notre analyse utilise la notion d'$ extit{interval retract}$, qui devrait tre intressante par soi-mme dans la thorie des ensembles partiellement ordonns. Notre analyse donne lieu galement des nouvelles familles des polytopes, et mme une nouvelle factorisation d'une projection connue des associahdres aux hypercubes.
